电磁学更新于 2026-07-12

电通量与高斯定理

整理电场线、电通量、高斯定理及其在对称电场中的用法。

#电通量#高斯定理#高斯面#对称性

电场线

电场线的切线方向表示电场方向，线密度反映电场强弱。静电场线从正电荷出发，终止于负电荷或无穷远。

通过面积元 $d\mathbf S=\mathbf n\,dS$ 的电通量为

d\Phi_e=\mathbf E\cdot d\mathbf S.

闭合曲面 $S$ 的总通量为

\Phi_e=\oint_S\mathbf E\cdot d\mathbf S.

若电场在曲面上大小恒定，且与法向夹角为 $\theta$ ：

\Phi_e=ES\cos\theta.

真空中高斯定理的积分形式为

\oint_S\mathbf E\cdot d\mathbf S =\frac{1}{\varepsilon_0}\sum q_{\mathrm{in}}.

微分形式为

\nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}.

在电介质中，笔记引入电位移矢量

\mathbf D=\varepsilon_0\mathbf E+\mathbf P,

并写成

\oint_S\mathbf D\cdot d\mathbf S=\sum q_{\mathrm{free}}.

线性各向同性电介质中

\mathbf P=\varepsilon_0\chi_e\mathbf E,\qquad \mathbf D=\varepsilon_0(1+\chi_e)\mathbf E=\varepsilon\mathbf E.

使用高斯定理时，核心不是公式本身，而是选择合适的高斯面，使 $\mathbf E\cdot d\mathbf S$ 在曲面上可以简化。

点电荷或球对称带电体外部：

E\cdot 4\pi r^2=\frac{q}{\varepsilon_0}, \qquad E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}.

无限长均匀带电直线：

E\cdot 2\pi r l=\frac{\lambda l}{\varepsilon_0}, \qquad E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}.

无限大均匀带电平面：

2ES=\frac{\sigma S}{\varepsilon_0}, \qquad E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.