牛头的脑袋
数学分析更新于 2026-07-12

复合函数求导、隐函数求导与梯度

整理多元复合函数链式法则、隐函数求导公式、方向导数和梯度。

#链式法则#隐函数#方向导数#梯度

复合函数链式法则

若

z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y),z=f(u,v),\qquad u=u(x,y),\qquad v=v(x,y),

则

∂z∂x=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x,\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}, ∂z∂y=∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y.\frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}.

隐函数求导

若 F(x,y)=0F(x,y)=0 确定 y=y(x)y=y(x)，且 Fy≠0F_y\ne0：

dydx=−FxFy.\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}.

若 F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0 确定 z=z(x,y)z=z(x,y)：

∂z∂x=−FxFz,∂z∂y=−FyFz.\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.

方向导数与梯度

方向导数：

∂f∂l=∇f⋅l.\frac{\partial f}{\partial \mathbf l} =\nabla f\cdot\mathbf l.

梯度：

∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z).\nabla f= \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right).

梯度方向是函数增长最快的方向，其模长等于最大方向导数。

原页对照

数学分析原笔记第 3 页
第 3 页 · 链式法则和隐函数
数学分析原笔记第 4 页
第 4 页 · 方向导数和梯度