数学分析更新于 2026-07-12

常系数线性微分方程

整理常系数非齐次线性微分方程、特征方程和待定系数法。

#微分方程#常系数#特征方程

标准形式

常系数线性微分方程：

y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a_ny=f(x).

记 $D=\frac{d}{dx}$ ，可写作

P(D)y=f(x).

齐次方程 $P(D)y=0$ 对应特征方程

P(\lambda)=0.

若 $\lambda$ 是 $k$ 重根，对应解为

e^{\lambda x},\;xe^{\lambda x},\;\ldots,\;x^{k-1}e^{\lambda x}.

通解为

y=y_h+y_p.

当右端形如 $e^{\alpha x}P_m(x)$ 或带三角因子时，待定特解要根据 $\alpha$ 或 $\alpha\pm i\beta$ 是否为特征根来乘以 $x^s$ 。