数学分析更新于 2026-07-12

函数项级数、一致收敛与幂级数

整理函数项级数的一致收敛、Weierstrass 判别法、幂级数收敛半径和逐项运算。

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一致收敛

函数项级数

\sum_{n=1}^{\infty}u_n(x)

在集合 $D$ 上一致收敛，可用柯西准则表示：任给 $\varepsilon>0$ ，存在 $N$ ，当 $n>N$ 且 $p\ge1$ 时，对所有 $x\in D$ 都有

\left|u_{n+1}(x)+\cdots+u_{n+p}(x)\right|<\varepsilon.

Weierstrass 判别法：若

|u_n(x)|\le M_n,\qquad x\in D,

且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛。

幂级数：

\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n.

存在收敛半径 $R$ 。当 $|x-x_0|<R$ 时绝对收敛， $|x-x_0|>R$ 时发散，端点需要单独判断。

常用公式：

R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|, \qquad R=\frac{1}{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.

幂级数在收敛区间内部可以逐项求导、逐项积分，收敛半径不变。