数学分析更新于 2026-07-12

数项级数与收敛判别法

整理无穷级数定义、调和级数、正项级数判别法和交错级数判别法。

#无穷级数#正项级数#交错级数#收敛判别

级数与部分和

数项级数

\sum_{n=1}^{\infty}u_n

的部分和为

S_n=u_1+u_2+\cdots+u_n.

若 $\lim_{n\to\infty}S_n=S$ ，则级数收敛。

比值判别法：

\rho=\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}.

若 $\rho<1$ 收敛，若 $\rho>1$ 发散。

根值判别法：

\rho=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}.

若 $\rho<1$ 收敛，若 $\rho>1$ 发散。

若

u_n\ge0,\qquad u_{n+1}\le u_n,\qquad \lim_{n\to\infty}u_n=0,

则

\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n

收敛。