数学分析更新于 2026-07-12

曲线积分、曲面积分与场论公式

整理第一类和第二类曲线积分、Green 公式、Gauss 公式、Stokes 公式和路径无关条件。

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曲线积分

第一类曲线积分：

\int_L f(x,y)\,ds.

若 $x=x(t),y=y(t)$ ，则

ds=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\,dt.

第二类曲线积分：

\int_L P\,dx+Q\,dy.

\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy =\iint_D\left( \frac{\partial Q}{\partial x} -\frac{\partial P}{\partial y} \right)dx\,dy.

若区域单连通且

\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial Q}{\partial x},

则曲线积分与路径无关。

Gauss 公式：

\iint_{\partial\Omega}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\iiint_\Omega\nabla\cdot\mathbf F\,dv.

Stokes 公式：

\oint_{\partial S}\mathbf F\cdot d\mathbf r =\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS.