数学分析更新于 2026-07-12

二重积分、三重积分与坐标变换

整理二重积分、三重积分的累次积分表达，以及极坐标、柱坐标、球坐标的体积元。

#二重积分#三重积分#坐标变换

二重积分

若

D=\{(x,y)\mid a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)\},

则

\iint_D f(x,y)\,d\sigma =\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\,dy.

极坐标变换：

x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad d\sigma=r\,dr\,d\theta.

三重积分：

\iiint_\Omega f(x,y,z)\,dv.

柱坐标：

x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z, \qquad dv=r\,dr\,d\theta\,dz.

球坐标：

x=r\sin\varphi\cos\theta,\quad y=r\sin\varphi\sin\theta,\quad z=r\cos\varphi,

dv=r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.