牛头的脑袋
数学分析更新于 2026-07-12

多元函数极限、连续与可微

整理多元函数极限判别、连续性、偏导数、全微分和可微性的关系。

#多元函数#极限#连续#偏导数#可微

极限与连续

多元函数极限要求从任意路径趋向同一点时函数值趋向同一常数：

lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A.\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A.

若沿不同路径得到不同结果，则极限不存在。常用路径包括 y=kxy=kx、y=x2y=x^2，也可转为极坐标判断 r→0r\to0 时是否与角度有关。

连续性要求

lim⁡x→x0f(x)=f(x0).\lim_{\mathbf x\to\mathbf x_0}f(\mathbf x)=f(\mathbf x_0).

偏导数

fx(x0,y0)=lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx,f_x(x_0,y_0)= \lim_{\Delta x\to0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}, fy(x0,y0)=lim⁡Δy→0f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)Δy.f_y(x_0,y_0)= \lim_{\Delta y\to0} \frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y}.

全微分与可微

若

Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),ρ=(Δx)2+(Δy)2,\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho), \qquad \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},

则函数可微，且

dz=fx dx+fy dy.dz=f_x\,dx+f_y\,dy.

关系链：

  • 可微推出连续。
  • 可微推出偏导存在。
  • 偏导存在不能推出可微。
  • 偏导在邻域存在并在该点连续，是可微的充分条件。

原页对照

数学分析原笔记第 2 页
第 2 页 · 多元函数极限与连续
数学分析原笔记第 3 页
第 3 页 · 偏导数与全微分
数学分析原笔记第 4 页
第 4 页 · 高阶偏导和方向导数