分析力学更新于 2026-07-12

约束与虚位移

整理约束分类、虚位移定义，以及虚位移必须满足的约束变分条件。

#约束#虚位移#完整约束

约束

约束是对质点或质点系可能运动的限制。按是否显含时间，可分为定常约束和非定常约束；按是否能写成等式，可分为完整约束和非完整约束。

完整双侧约束可写成

f_j(x_1,y_1,z_1,\ldots,x_n,y_n,z_n,t)=0, \qquad j=1,2,\ldots,s.

虚位移是在固定时刻 $t$ 下，满足约束所允许的无穷小位移：

\delta \mathbf r_i =\delta x_i\mathbf i+\delta y_i\mathbf j+\delta z_i\mathbf k.

对约束方程取变分：

\sum_i\left( \frac{\partial f_j}{\partial x_i}\delta x_i+ \frac{\partial f_j}{\partial y_i}\delta y_i+ \frac{\partial f_j}{\partial z_i}\delta z_i \right)=0.

实际位移 $d\mathbf r_i$ 包含时间推进，虚位移 $\delta\mathbf r_i$ 比较的是同一时刻约束允许的邻近位置。