牛头的脑袋
分析力学更新于 2026-07-12

拉格朗日函数与能量积分

整理有势力情形下的拉格朗日函数，以及定常保守系统的能量积分。

#拉格朗日函数#能量积分#机械能守恒

拉格朗日函数

有势力情形下令

L=T−V.L=T-V.

第二类拉格朗日方程写成

ddt(∂L∂q˙σ)−∂L∂qσ=0.\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_\sigma}\right) -\frac{\partial L}{\partial q_\sigma}=0.

能量积分

若约束定常且势能不显含时间，则

ddt(∑σ=1kq˙σ∂L∂q˙σ−L)=0.\frac{d}{dt}\left( \sum_{\sigma=1}^{k}\dot q_\sigma \frac{\partial L}{\partial \dot q_\sigma} -L \right)=0.

当动能是广义速度的二次齐次函数时，

∑σ=1kq˙σ∂T∂q˙σ=2T.\sum_{\sigma=1}^{k}\dot q_\sigma \frac{\partial T}{\partial \dot q_\sigma}=2T.

于是

T+V=E=常量.T+V=E=\text{常量}.

适用条件

机械能守恒需要同时注意：

  • 约束定常。
  • 主动力有势。
  • 势能不显含时间。
  • 非保守力或非理想约束没有额外做功。

原页对照

分析力学原笔记第 5 页
第 5 页 · 拉格朗日函数和能量积分