分析力学更新于 2026-07-12

广义坐标、虚功与广义力

整理自由度、广义坐标、虚功表达和广义力定义。

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自由度与广义坐标

若 $n$ 个质点受到 $s$ 个完整约束，系统自由度为

k=3n-s.

选取独立广义坐标 $q_1,\ldots,q_k$ 后，

\mathbf r_i=\mathbf r_i(q_1,\ldots,q_k,t).

固定时刻的虚位移为

\delta \mathbf r_i=\sum_{\sigma=1}^{k} \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q_\sigma}\delta q_\sigma.

力的虚功为

\delta W=\sum_i\mathbf F_i\cdot\delta\mathbf r_i.

代入广义坐标展开：

\delta W =\sum_{\sigma=1}^{k}Q_\sigma\delta q_\sigma,

其中广义力为

Q_\sigma=\sum_i\mathbf F_i\cdot \frac{\partial \mathbf r_i}{\partial q_\sigma}.

若 $\delta q_\sigma$ 独立，平衡时有

Q_\sigma=0,\qquad \sigma=1,\ldots,k.